Moment - Math'φsics

Moment

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Moment d'ordre \(p\) de \(X\)
Correspond à la quantité \({\Bbb E}[X^p]\).
- est bien définie si et seulement si \({\Bbb E}[\lvert X\rvert^p]\lt +\infty\) ou si \(X\geqslant0\)
- le moment d'ordre \(1\) est l'Espérance
- on appelle moment absolu la quantité \({\Bbb E}[\lvert X\rvert^p]\)
Exercices

Soit \(X\) une v.a. Positive et \(a\gt 0\).
On suppose que \({\Bbb E}[X^a]\) est fini.
Montrer que \(t^a{\Bbb P}(X\gt t)\) tend vers \(0\) lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\).

On utilise l'Inégalité de Markov.

On a alors la convergence par TCD.

Soit \(X\) une v.a. À valeur dans \({\Bbb N}\).
Montrer que $${\Bbb P}(X\ne0)\leqslant{\Bbb E}[X].$$

C'est l'Inégalité de Markov avec \(t=1\).

Soit \(X\) une v.a. À valeur dans \({\Bbb N}\).
Montrer que $${\Bbb P}(X\ne 0)\geqslant1-\frac{\operatorname{Var}(X) }{{\Bbb E}[X]^2}$$

C'est l'Inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec \(t={\Bbb E}[X]\).

Soit \(X\) une v.a. À valeur dans \({\Bbb N}\).
Montrer que $${\Bbb P}(X\ne0)\geqslant\frac{{\Bbb E}[X]^2}{{\Bbb E}[X^2]}$$

C'est l'Inégalité de Cauchy-Schwarz avec \(X\Bbb 1_{X\ne 0}\).
Rétroliens :